이산 모델

이산 모델

T = 만기(미래의 특정 시점)
S(T) = 만기 T일 때 기초자산의 가격
K = 행사가격

손익 함수 = S(T) - K

왜냐하면 매입자는 S(T)의 가치를 K의 가격으로 구입해야 함
옵션의 종류
유러피언 옵션: 만기일에만 행사가 가능
아메리칸 옵션: 만기일 전 옵션이 존속하는 어느 시점에도 행사가 가능

콜옵션: 옵션 소유자에게 미래의 약정 일에 행사가격으로 불리는 정해진 가격으로 기초자산을 구입할 수 있는 권리를 부여하는 옵션

유러피언 콜옵션의 손익함수
(S(T) - K)+ := max{S(T) -K,0}

S(T) < K이면 콜옵션 소유자는 시장에서 기초자산을 보다 싸게 살 수 있기에 행사를 하지 않을 것이며
만약 S(T) > K이면 소유자는 옵션을 행사하여 행사가격 K에 기초자산을 구입허여 즉시 시장에 S(T)가격으로 팔아 S(T) -K의 이익을 얻을 것이다. 

풋옵션: 미래의 약정 일에 행사가격 K에 기초자산을 팔 수 있는 권리를 소유자에게 부여하는 옵션
유러피언 풋옵션의 손익함수 = (K-S(T))^+

선물(Future)
선물은 주로 투기와 헤징에 주로 사용

채권: 발행자가 투자자에게 빌린 액면 금액과 특정한 기간 동안의 이자를 되갚는 부채 금융 도구
채권 상품을 고정 수입 파생상품이라고 부른다 - 채권 발행자가 채무 불이행이나 만기 전 채권 상환을 요구하지 않는다면 이 채권을 만기까지 소유하는 투자자는 알려진 현금 흐름 패턴을 확신한다.

Callable Bond: 발행자에게 특정한 가격으로 채권을 다시 살 수 있는 권한을 부여한 채권
Convetible bond: 채권 소유자에게 발행 회사의 주식을 특정 수만큼 채권과 교환 할 수 있는 권리를 부여

 

이산 모델(정의 및 예제)

이산 모델:매우 수준 높은 수학적 지식을 요구하지 않고 직관적이다.
이산적인 시간에 발생하는 거래를 다루는 모형으로 미래 시장 변화의 모든 방법들의 가상적인 리스트이다. 리스크는 가지는 p개의 자산으로 이루어진 시장의 이산 모델은 다음의 원소로 구성된다.

1. 집합 Τ는 모델의 시간 축을 나타내는 거래 날짜들 τ0 < τ1 < ... < τn이다. t0 = 현재 tn = 만기
2. 시행 공간을 나타내는 집합 Ω. 집합 Ω의 원소 ω는 모델에서 가능한 시장의 미래 상태를 나타낸다.
3. 리스크를 가지는 각각의 자산 Si(리스키 자산). 1 1 ≤ i ≤ p와 각각의 ω ∈ Ω에 대하여 함수 Si(τ)(ω)를 가격 경로(price path)라고 부르며 이것은 시장의 상태가 ω일 때 시간 τ에서의 자산 Si의 가격을 나타낸다. 시간 τ=0에서의 가격 경로는 ω에 영향을 받지 않는 이유로 항상 Si(0)는 결정적이라 간주한다.
4.  money market account(MMA)라 부르는 무위험 자산(risk-free asset). 이것은 리크스 없이 일정한 이자를 얻는 자산이며, 언제나 자기 의지로 투자하고 인출할 수 있는 의미로 유동성을 가진다.  

 

이산 모델(정의 및 예제)

아래의 Python 코드는 현재 기초자산의 가격이 10,000원이고 1년 후 만기 때 기초자산은 12,000원 혹은 8,000원이 되는 경우, 행사가격이 10,000원인 콜옵션의 가격을 제공한다. 단 무위험 이자율은 5%이다.

할인율: 미래가치를 현재가치로 나타낸 것

S = 10000 # 기초자산가격
K = 10000 # 행사가격
up = 12000 / 10000 # 상승비율
dn = 8000 / 10000 # 하락비율
r = 0.05 # 무위험 이자율
T = 1 # 만기
n = 1 # 기간
h = T / n # 단위시간 (T=nh)
df = 1/(1 + r * h) # 할인율, 연속복리 경우 df = 1 / exp(r*h)
p = ((1+ r * h) - dn) / (up - dn) # 위험 중립 확률
cu = max(S * up - K, 0) # 1기간에서 상승 경우 옵션가치
cd = max(S * dn - K, 0) # 1기간에서 하락 경우 옵션가치
c = ((p * cu) + ((1 - p) * cd)) * df # c는 옵션가치, (p, 1-p) 위험 중립 확률
print("옵션의 가격은: %s" %c)

 

차익거래

차익거래는 단지 몇 가지 자산을 거래함으로 전혀 위험이 없이 이익을 창출하는 포트폴리오이다.

금융공학적으로 차익거래는 다음과 같이 정의한다.
- 차익거래(arbitrage)란 wealth process(재산 과정) X(t)가 다음 조건 중 하나를 만족하는 admissible하고 self-financing한 포트폴리오이다. 

1. 모든 시행 공간에서 X(0) < 0 이고 X(T) >=0 이다.
2. 모든 시행 공간에서 X(0) < 0 이고 X(T) >=0 이며 시행 공간의 재산 과정이 적어도 하나는 0보다 큼을 만족하는 시행 공간이 하나는 존재한다. 

첫 번째의 정의의 경우는 자산을 빌려 마지막에는 시장 경제가 어떠한 경우라도 재산이 최소한 0 혹은 그 이상의 상태로 끝나는 경우를 말한다.
두 번째 경우는 처음에는 아무것도 가진 것이 없는 상태에서 출발하여 마지막에는 손해를 보지 않는 것이 확실하며 미래에 적어도 한 번의 결과로는 이익을 남기는 경우를 의미한다.

다음 예제는 단일 기간 이항 모델에서 무차익거래의 필요충분조건을 제공한다.
예제 1.4.2 이 예제에서 리스크를 가지는 기초 자산을 주식으로 간주하자. 그리고 시간 t = 0에서 다음의 포트폴리오(델타0, 델타1)를 선택하자. 이 모델의 경우 우리는 무차익거래 존재의 필요충분조건이 d < 1+rT < u임을 보이고자 한다. 
직관적으로 왜 우의 부등호가 성립하지 않으면 차익거래가 가능하다는 것을 쉽게 알 수 있다. 예를 들어 1+rT <= d < u를 가정하자. 그러면 어떠한 경우에도 리스크를 가지는 주식투자는 적어도 은행 계정에 저금보다는 많은 수익을 가진다. 그러므로 무위험 이자율로 빌려 그것을 주식에 투자하므로 차익거래가 가능하다. 
여기서 d < 1+rT < d 가 성립할 때 차익거래가 가능하지 않다는 것을 수학적인 다른 접근 방법을 사용하여 증명할 것이다. 단일 기간의 시작 시점 t=0에서 포트폴리오의 가치는 X(0)(w) = 델타0 + S(0)델타1 이고 
기간의 마지막 시점 T에서 가치는 X(0)(w) = (1+rT)델타0 + S(T)(w)델타1이다. 이것은 다음의 두 가지 가능성을 가지고 있다.